La Fourmi trouve dans un coin de son grenier les  règles du carré magique .  Un carré magique d’ordre n est un tableau composé de n lignes et n colonnes, que l’on remplit avec les nombres de 1 à n², en respectant les règles suivantes :

•  Dans chaque case du carré magique, il y a un nombre.
•  Chaque nombre entre 1 et n²  apparaît une fois dans le carré magique (mais pas plus).
•  Pour un carré magique donné, la somme des nombres de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est toujours la même.

La Fourmi décide alors de ranger ses grains dans des carrés magiques : à chaque fois qu’un nombre est inscrit dans une case, elle mettra le même nombre de grains dans cette case.

• - Trouver tous les carrés magiques d’ordre 3 ?
• - Trouver tous les carrés magiques d’ordre 4 ?
• - Savoir combien de grains sont nécessaires pour remplir un carré magique d’ordre n ?

Un peu honteuse après son méfait, la Cigale décide de fuir le plus loin possible

de la Fourmi. On suppose ici que ces deux animaux vivent sur une feuille de papier

(recto-verso). Où la Cigale doit-elle se placer pour être le plus loin possible de la foumi

(sachant que si elle arrive sur un bord de la feuille, elle peut continuer de marcher en

passant de l’autre côté de la feuille) ?

Au bout d’un moment, ce qui devait arriver arriva : le lancer de grains dégénère.

Certains grains tappent contre les murs, la maison de la Fourmi tremble un peu, et le tableau préféré de cette dernière se décroche : le clou sur lequel il était accroché est tombé !

Heureusement le tableau n’est pas cassé.

Il faudrait le fixer plus solidement au mur…  dit la Fourmi.

La Cigale, qui passe par là, lui propose alors son aide :  Si vous

le voulez, en échange de quelques grains, je peux accrocher votre tableau avec DEUX clous, lui propose-t-elle, un sourire en coin.

- C’est une bonne idée, se réjouit la Fourmi. De cette façon, si l’un des deux clous tombe, la ficelle du tableau restera attachée sur le premier, et ainsi le tableau ne tombera pas !

Marché conclu, vous aurez deux grains en échange, mais pas plus ! 

Mais la Cigale, qui souhaite en réalité se venger, n’a pas cette idée en tête : elle plante les deux clous dans le mur, mais décide d’attacher la celle qui tient le tableau de telle sorte que si l’un des clous tombe, n’importe lequel, le tableau tombe aussi !

Comment la Cigale peut-elle s’y prendre ?

Pouvez vous trouver toutes les solutions possibles ?

Est-ce possible avec trois clous (ou plus) ?

Après avoir passé quelques jours à ranger, la Fourmi invite ses amies. L’une d’entre elle, voyant la réserve de grains, propose de faire un lancer de grains, en suivant un protocole bien particulier : les fourmis se placent dans la maison en prenant garde que toutes les distances les séparant soient différentes, ainsi aucune des fourmis n’a deux voisines à la même distance d’elle. Ensuite, chacune lance un grain à sa plus proche voisine.

 Les fourmis ont l’impression qu’il y aura toujours au moins l’une d’entre elles qui ne recevra pas de grain. Ont-elles raison ?

 Les fourmis ont l’impression qu’il y aura toujours au moins deux fourmis qui échangeront leurs grains lors du lancer. Ont-elles raison ?

 Les fourmis cherchent à se placer de telles sorte que leur hôte reçoive tous les grains sauf le sien lors du lancer. Est-ce possible ?

 Peut-on trouver une configuration des fourmis dans la maison pour laquelle deux trajectoires de grains se croiseraient lors du lancer ?

De combien de façons peut-elle faire son rangement (en fonction du nombre de grains) ?

Que remarque-t-on concernant les nombres de lignes possibles ?

Dans quels cas la Fourmi n’a-t-elle que deux dispositions possibles ?